Data Structure AVL Tree

AVL tree is another balanced binary search tree. Named after their inventors, Adelson-Velskii and Landis, they were the first dynamically balanced trees to be proposed. Like red-black trees, they are not perfectly balanced, but pairs of sub-trees differ in height by at most 1, maintaining an O(logn) search time. Addition and deletion operations also take O(logn) time.

前言

    AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1,所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

平衡二叉树

平衡二叉树介绍:

1)平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树(Self-balancing binary search tree)又被称为AVL树, 可以保证查询效率较高。
2)具有以下特点:它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。

平衡二叉树旋转图解:




平衡二叉树代码:

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/**
* @Auther: Arsenal
* @Date: 2020-03-27 22:25
* @Description: 自平衡二叉查找树
*/
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
//int[] arr = {4, 3, 6, 5, 7, 8};
//int[] arr = {10, 12, 8, 9, 7, 6};
int[] arr = {10, 11, 7, 6, 8, 9};
//int[] arr = {2, 1, 6, 5, 7, 3};
AVLTree avlTree = new AVLTree();
for (int value : arr) {
avlTree.addNode(new Node(value));
}
Node avlTreeRoot = avlTree.getRoot();
System.out.println("树的根节点为:" + avlTreeRoot);
System.out.println("树的高度为:" + avlTreeRoot.treeHeight());
System.out.println("树的左子树高度为:" + avlTreeRoot.leftTreeHeight());
System.out.println("树的右子树高度为:" + avlTreeRoot.rightTreeHeight());
}
}

/**
* AVL树
*/
class AVLTree {

private Node root;

public AVLTree() {
}

public Node getRoot() {
return root;
}

/**
* 查找要删除的结点
* @param value 值
* @return 查找的结点
*/
public Node searchTargetNode(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.searchTargetNode(value);
}
}

/**
* 查找父结点
* @param value 值
* @return 父结点
*/
public Node searchParentNode(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.searchParentNode(value);
}
}

// 编写方法:
// 1. 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
// 2. 删除node 为根结点的二叉排序树的最小结点

/**
* @param node 传入的结点(当做二叉排序树的根结点)
* @return 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
*/
public int delRightTreeMin(Node node) {
Node target = node;
// 循环的查找左子节点,就会找到最小值
while (target.leftNode != null) {
target = target.leftNode;
}
// 这时 target就指向了最小结点
// 删除最小结点
deleteNode(target.value);
return target.value;
}

/**
* 删除结点
* @param value 值
*/
public void deleteNode(int value) {
/**
*第一种情况:
* 删除叶子节点 (比如:2, 5, 9, 12)
* 思路
* (1) 需求先去找到要删除的结点 targetNode
* (2) 找到targetNode 的 父结点 parent
* (3) 确定 targetNode 是 parent的左子结点 还是右子结点
* (4) 根据前面的情况来对应删除
* 左子结点 parent.left = null
* 右子结点 parent.right = null;
* 第二种情况: 删除只有一颗子树的节点 比如 1
* 思路
* (1) 需求先去找到要删除的结点 targetNode
* (2) 找到targetNode 的 父结点 parent
* (3) 确定targetNode 的子结点是左子结点还是右子结点
* (4) targetNode 是 parent 的左子结点还是右子结点
* (5) 如果targetNode 有左子结点
* 5. 1 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
* parent.left = targetNode.left;
* 5.2 如果 targetNode 是 parent 的右子结点
* parent.right = targetNode.left;
* (6) 如果targetNode 有右子结点
* 6.1 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
* parent.left = targetNode.right;
* 6.2 如果 targetNode 是 parent 的右子结点
* parent.right = targetNode.right
*
*
* 情况三 : 删除有两颗子树的节点. (比如:7, 3,10 )
* 思路
* (1) 需求先去找到要删除的结点 targetNode
* (2) 找到targetNode 的 父结点 parent
* (3) 从targetNode 的右子树找到最小的结点
* (4) 用一个临时变量,将 最小结点的值保存 temp = 11
* (5) 删除该最小结点
* (6) targetNode.value = temp
*/
if (root == null) {
System.out.println("空树无法删除");
return;
} else {
Node targetNode = searchTargetNode(value);
if (targetNode == null) {
System.out.println("该结点不存在,无法删除");
return;
}

if (root.leftNode == null && root.rightNode == null) {
root = null;
return;
}

// 去找到targetNode的父结点
Node parentNode = searchParentNode(value);
// 如果要删除的结点是叶子结点
if (targetNode.leftNode == null && targetNode.rightNode == null) {
// 判断targetNode 是父结点的左子结点,还是右子结点
if (parentNode.leftNode != null && parentNode.leftNode.value == value) { // 是左子结点
parentNode.leftNode = null;
} else if (parentNode.rightNode != null && parentNode.rightNode.value == value) { // 是由子结点
parentNode.rightNode = null;
}
} else if (targetNode.leftNode != null && targetNode.rightNode != null) { // 删除有两颗子树的节点
int minVal = delRightTreeMin(targetNode.rightNode);
targetNode.value = minVal;

} else { // 删除只有一颗子树的结点
// 如果要删除的结点有左子结点
if (targetNode.leftNode != null) {
if (parentNode != null) {
// 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
if (parentNode.leftNode.value == value) {
parentNode.leftNode = targetNode.leftNode;
} else { // targetNode 是 parent 的右子结点
parentNode.rightNode = targetNode.leftNode;
}
} else {
root = targetNode.leftNode;
}
} else { // 如果要删除的结点有右子结点
if (parentNode != null) {
// 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
if (parentNode.leftNode.value == value) {
parentNode.leftNode = targetNode.rightNode;
} else { // 如果 targetNode 是 parent 的右子结点
parentNode.leftNode = targetNode.rightNode;
}
} else {
root = targetNode.rightNode;
}
}
}
}
}

/**
* 添加结点
* @param node 新结点
*/
public void addNode(Node node) {
if (node == null) {
return;
}

if (root == null) { // 如果是空树,直接添加
root = node;
} else { // 如果不是空树,调方法添加
root.addNode(node);
}
}

/**
* 中序遍历
*/
public void midOrder() {
if (root == null) {
System.out.println("空树无法遍历");
return;
}
root.midOrder();
}

}

/**
* 节点
*/
class Node {
int value;
Node leftNode;
Node rightNode;

public Node(int value) {
this.value = value;
}


/**
* 获得右子树的高度
* @return 返回右子树的高度
*/
public int rightTreeHeight() {
if (rightNode == null) {
return 0;
}
return rightNode.treeHeight();
}

/**
* 获得左子树高度
* @return 左子树高度
*/
public int leftTreeHeight() {
if (leftNode == null) {
return 0;
}
return leftNode.treeHeight();
}

/**
* 获得以该节点为根节点的树的高度
* @return 以该节点为根节点的树的高度
*/
public int treeHeight() {
return Math.max(leftNode == null ? 0 : leftNode.treeHeight(), rightNode == null ? 0 : rightNode.treeHeight()) + 1;
}

/**
* 左旋转
*/
private void leftRotate() {
//1. 创建一个新的节点 newNode,创建一个新的节点,值等于当前根节点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新节点的左子树设置了当前节点的左子树
newNode.leftNode = leftNode;
//把新节点的右子树设置为当前节点的右子树的左子树
newNode.rightNode = rightNode.leftNode;
//把当前节点的值换为右子节点的值
value = rightNode.value;
//把当前节点的右子树设置成右子树的右子树
rightNode = rightNode.rightNode;
//把当前节点的左子树设置为新节点
leftNode = newNode;
}

/**
* 右旋转
*/
private void rightRotate() {
//创建一个新的节点 newNode,创建一个新的节点,值等于当前根节点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新节点的右子树设置了当前节点的右子树
newNode.rightNode = rightNode;
//把新节点的左子树设置为当前节点的左子树的右子树
newNode.leftNode = leftNode.rightNode;
//把当前节点的值换为左子节点的值
value = leftNode.value;
//把当前节点的左子树设置成左子树的左子树
leftNode = leftNode.leftNode;
//把当前节点的右子树设置为新节点
rightNode = newNode;
}

/**
* 查找父节点
* @param value 值
* @return 父节点
*/
public Node searchParentNode(int value) {
if ((this.leftNode != null && this.leftNode.value == value)
|| (this.rightNode != null && this.rightNode.value == value)) {
return this;
} else {
if (value > this.value && this.rightNode != null) {
return this.rightNode.searchParentNode(value);
} else if (value < this.value && this.leftNode != null) {
return this.leftNode.searchParentNode(value);
} else {
return null;
}
}
}

/**
* 查找要删除的结点
* @param value 值
* @return 要查找的结点
*/
public Node searchTargetNode(int value) {
if (this.value == value) {
return this;
} else if (this.value > value) { // 往左子树找
if (this.leftNode == null) { // 为空直接返回空
return null;
} else { // 不为空,递归查找
return this.leftNode.searchTargetNode(value);
}
} else { // 往右子树找
if (this.rightNode == null) { // 为空直接返回空
return null;
} else { // 不为空,递归查找
return this.rightNode.searchTargetNode(value);
}
}
}

/**
* 添加结点
* @param node 新增节点
*/
public void addNode(Node node) {
if (this.value > node.value) { // 值较小,放到左子树
if (this.leftNode == null) {
this.leftNode = node; // 左子结点为空,直接添加
} else { // 非空,则递归,找到位置
this.leftNode.addNode(node);
}
} else { // 值较大,放到右子树
if (this.rightNode == null) { // 右子结点为空,直接添加
this.rightNode = node;
} else { // 非空,则递归,找到位置
this.rightNode.addNode(node);
}
}

//当添加完一个节点后,如果rightTreeHeight() - leftTreeHeight() > 1,则左旋转
if (rightTreeHeight() - leftTreeHeight() > 1) {

//如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的高度(双旋转的情况)
if (rightNode != null && rightNode.leftTreeHeight() > rightNode.rightTreeHeight()) {
//先对当前这个结点的右节点进行右旋转
rightNode.rightRotate();
//再对当前结点进行左旋转的操作即可
leftRotate();
} else {
//否则直接旋转即可
leftRotate();
}
return; //加一个节点处理一次,这里已经处理,后面处理,直接返回
}

//当添加完一个节点后,如果leftTreeHeight() - rightTreeHeight() > 1,则右旋转
if (leftTreeHeight() - rightTreeHeight() > 1) {
//如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度(双旋转的情况)
if (leftNode != null && leftNode.rightTreeHeight() > leftNode.leftTreeHeight()) {
//先对当前这个结点的左节点进行左旋转
leftNode.leftRotate();
//. 在对当前结点进行右旋转的操作即可
rightRotate();
} else {
//否则直接旋转即可
rightRotate();
}
}
}

/**
* 中序遍历
*/
public void midOrder() {

if (this.leftNode != null) {
this.leftNode.midOrder();
}

System.out.println(this);

if (this.rightNode != null) {
this.rightNode.midOrder();
}
}

@Override
public String toString() {
return "Node{" + "value=" + value + '}';
}
}

延伸

    AVL树的Java实现
    详细图文——AVL树
    韩顺平数据结构和算法
    AVL树,怎么维持平衡性?
    Data Structure and Algorithms - AVL Trees

Content
  1. 1. 前言
  2. 2. 平衡二叉树
  3. 3. 延伸