Data Structure Graph

A graph is a pictorial representation of a set of objects where some pairs of objects are connected by links. The interconnected objects are represented by points termed as vertices, and the links that connect the vertices are called edges.

前言

    在计算机科学中,一个图就是一些顶点的集合,这些顶点通过一系列边结对(连接)。顶点用圆圈表示,边就是这些圆圈之间的连线。顶点之间通过边连接。

图的介绍:

图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成, 通常表示为: G(V,E), 其中,G表示一个图,V是图G中顶点的集合,E是图G中边的集合。
1)线性结构中,元素仅有线性关系,每个元素只有一个直接前驱和直接后继;
2)树形结构中,数据元素(结点)之间有着明显的层次关系,每层上的元素可能和下一层中多个元素相关,但只能和上一层中一个元素相关;
3) 图形结构中,数据元素(顶点)之间具有任意关系,图中任意两个数据元素之间都可能相关。

图解:



图的表示方式:

图的表示方式有两种:二维数组表示(邻接矩阵);链表表示(邻接表)。
1)邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵,对于n个顶点的图而言,矩阵是的row和col表示的是1….n个点。


2)邻接表
邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间,其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失;
邻接表的实现只关心存在的边,不关心不存在的边。因此没有空间浪费,邻接表由数组+链表组成


图的访问策略:

1)深度优先遍历

图的深度优先搜索(Depth First Search) 。
(1)深度优先遍历,从初始访问结点出发,初始访问结点可能有多个邻接结点,深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点,然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点,访问它的第一个邻接结点, 可以这样理解:每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
(2)我们可以看到,这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入,而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
(3)显然,深度优先搜索是一个递归的过程。

深度优先遍历算法步骤
1.访问初始结点v,并标记结点v为已访问。
2.查找结点v的第一个邻接结点w。
3.若w存在,则继续执行4,如果w不存在,则回到第1步,将从v的下一个结点继续。
4.若w未被访问,对w进行深度优先遍历递归(即把w当做另一个v,然后进行步骤123)。
5.查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点,转到步骤3。

2)广度优先遍历

图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
类似于一个分层搜索的过程,广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序,以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点。

广度优先遍历算法步骤
1.访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2.结点v入队列
3.当队列非空时,继续执行,否则算法结束。
4.出队列,取得队头结点u。
5.查找结点u的第一个邻接结点w。
6.若结点u的邻接结点w不存在,则转到步骤3;否则循环执行以下三个步骤:
6.1 若结点w尚未被访问,则访问结点w并标记为已访问。
6.2 结点w入队列
6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w,转到步骤6。

图代码:

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import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

/**
* @Auther: Arsenal
* @Date: 2020-03-28 10:35
* @Description: 图
*/
public class Graph {

private List<String> vertexs; //顶点
private int[][] edges; //存储图对应的邻接矩阵
private int numOfEdge;// 边的数量
private boolean[] isVisited; //记录节点是否被访问过

public static void main(String[] args) {
Graph graph = new Graph(5);
String[] vertexStr = {"A", "B", "C", "D", "E"};
for (String vertex : vertexStr) {
graph.insertVertex(vertex);
}

//添加边
//A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);

graph.showGraph();

//测试一把,我们的dfs遍历是否ok
System.out.println("深度遍历");
graph.dfs(); // A->B->C->D->E [1->2->4->8->5->3->6->7]
System.out.println();
System.out.println("广度优先!");
graph.bfs(); // A->B->C->D-E [1->2->3->4->5->6->7->8]

}

/**
* 构造器
* @param vertexNum 顶点数量
*/
public Graph(int vertexNum) {
vertexs = new ArrayList<>(vertexNum);
edges = new int[vertexNum][vertexNum];
//isVisited = new boolean[vertexNum];
numOfEdge = 0;
}

/**
* 插入顶点
* @param vertex 顶点
*/
public void insertVertex(String vertex) {
vertexs.add(vertex);
}

/**
* 插入边
* @param index1 边的下标1
* @param index2 边的下标2
* @param weight 权值
*/
public void insertEdge(int index1, int index2, int weight) {
edges[index1][index2] = weight;
edges[index2][index1] = weight;
numOfEdge++;
}

/**
* 获得顶点个数
* @return 返回顶点个数
*/
public int getNumOfVertex() {
return vertexs.size();
}

/**
* 获得边的数量
* @return 返回边的数量
*/
public int getNumOfEdge() {
return numOfEdge;
}

/**
* 获得对应下标的数据
* @param index 下标
* @return 数据 0->"A",1->"B"
*/
public String getVertexValueByIndex(int index) {
return vertexs.get(index);
}

/**
* 获得对应下标的权值
* @param index1 下标1
* @param index2 下标2
* @return
*/
public int getWeight(int index1, int index2) {
return edges[index1][index2];
}

/**
* 显示图
*/
public void showGraph() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}

//得到第一个邻接结点的下标 w
/**
*
* @param index
* @return 如果存在就返回对应的下标,否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for(int j = 0; j < vertexs.size(); j++) {
if(edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for(int j = v2 + 1; j < vertexs.size(); j++) {
if(edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}

//深度优先遍历算法
//i 第一次就是 0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//首先我们访问该结点,输出
System.out.print(getVertexValueByIndex(i) + "->");
//将结点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
//查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while(w != -1) {//说明有
if(!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
//如果w结点已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}

}

//对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点,并进行 dfs
public void dfs() {
isVisited = new boolean[vertexs.size()];
//遍历所有的结点,进行dfs[回溯]
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}

//对一个结点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u ; // 表示队列的头结点对应下标
int w ; // 邻接结点w
//队列,记录结点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
//访问结点,输出结点信息
System.out.print(getVertexValueByIndex(i) + "=>");
//标记为已访问
isVisited[i] = true;
//将结点加入队列
queue.addLast(i);

while( !queue.isEmpty()) {
//取出队列的头结点下标
u = (Integer)queue.removeFirst();
//得到第一个邻接结点的下标 w
w = getFirstNeighbor(u);
while(w != -1) {//找到
//是否访问过
if(!isVisited[w]) {
System.out.print(getVertexValueByIndex(w) + "=>");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//以u为前驱点,找w后面的下一个邻结点
w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
}
}

}

//遍历所有的结点,都进行广度优先搜索
public void bfs() {
isVisited = new boolean[vertexs.size()];
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}

}

延伸

    图-百度百科
    数据结构——图
    数据结构:图(Graph)
    韩顺平数据结构和算法
    Data Structure - Graph

Content
  1. 1. 前言
  2. 2.
    1. 2.1. 图的介绍:
    2. 2.2. 图的表示方式:
    3. 2.3. 图的访问策略:
  3. 3. 延伸