Algorithm Kruskal

Kruskal’s algorithm to find the minimum cost spanning tree uses the greedy approach. This algorithm treats the graph as a forest and every node it has as an individual tree. A tree connects to another only and only if, it has the least cost among all available options and does not violate MST properties.

前言

    Kruskal算法是一种用来查找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪心算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是,Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法介绍:

1)克鲁斯卡尔(Kruskal)算法,是用来求加权连通图的最小生成树的算法;
2)基本思想:按照权值从小到大的顺序选择n-1条边,并保证这n-1条边不构成回路;
3)具体做法:首先构造一个只含n个顶点的森林,然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中,并使森林中不产生回路,直至森林变成一棵树为止。

克鲁斯卡尔算法步骤:

1)新建图G,G中拥有原图中相同的节点,但没有边;
2)将原图中所有的边按权值从小到大排序;
3)从权值最小的边开始,如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中,则添加这条边到图G中;
4)重复3,直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中。

克鲁斯卡尔算法公交车问题:


克鲁斯卡尔算法代码:

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import java.util.Arrays;

/**
* @Auther: Arsenal
* @Date: 2020-03-29 11:50
* @Description: 克鲁斯卡尔算法
*/
public class Kruskal {

private int edgeNum; //边的个数
private char[] vertexs; //顶点数组
private int[][] matrix; //邻接矩阵
//使用 INF 表示两个顶点不能连通
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;

public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
int matrix[][] = {
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
//大家可以在去测试其它的邻接矩阵,结果都可以得到最小生成树.

//创建Kruskal 对象实例
Kruskal kruskalCase = new Kruskal(vertexs, matrix);
//输出构建的
kruskalCase.print();
kruskalCase.getMinTreeByKruskal();

}

//构造器
public Kruskal(char[] vertexs, int[][] matrix) {
//初始化顶点数和边的个数
int vlen = vertexs.length;

//初始化顶点, 复制拷贝的方式
this.vertexs = new char[vlen];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
this.vertexs[i] = vertexs[i];
}

//初始化边, 使用的是复制拷贝的方式
this.matrix = new int[vlen][vlen];
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j = 0; j < vlen; j++) {
this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
}
}
//统计边的条数
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j = i + 1; j < vlen; j++) {
if (this.matrix[i][j] != INF) {
edgeNum++;
}
}
}

}

/**
* 克鲁斯卡尔生成最小生成树
*/
public void getMinTreeByKruskal() {
int index = 0; //表示最后结果数组的索引
int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
//创建结果数组, 保存最后的最小生成树
EData[] rets = new EData[edgeNum];

//获取图中 所有的边的集合 , 一共有12边
EData[] edges = getEdges();
System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共" + edges.length); //12

//按照边的权值大小进行排序(从小到大)
sortEdges(edges);

//遍历edges 数组,将边添加到最小生成树中时,判断是准备加入的边否形成了回路,如果没有,就加入 rets, 否则不能加入
for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
//获取到第i条边的第一个顶点(起点)
int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4
//获取到第i条边的第2个顶点
int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5

//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
int m = getEnd(ends, p1); //m = 4
//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
int n = getEnd(ends, p2); // n = 5
//是否构成回路
if (m != n) { //没有构成回路
ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组
}
}
//<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
//统计并打印 "最小生成树", 输出 rets
System.out.println("最小生成树为");
for (int i = 0; i < index; i++) {
System.out.println(rets[i]);
}

}

//打印邻接矩阵
public void print() {
System.out.println("邻接矩阵为: \n");
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
}
System.out.println();//换行
}
}

/**
* 功能:对边进行排序处理, 冒泡排序
* @param edges 边的集合
*/
private void sortEdges(EData[] edges) {
for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {//交换
EData tmp = edges[j];
edges[j] = edges[j + 1];
edges[j + 1] = tmp;
}
}
}
}

/**
* @param ch 顶点的值,比如'A','B'
* @return 返回ch顶点对应的下标,如果找不到,返回-1
*/
private int getPosition(char ch) {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i] == ch) {//找到
return i;
}
}
//找不到,返回-1
return -1;
}

/**
* 功能: 获取图中边,放到EData[] 数组中,后面我们需要遍历该数组
* 是通过matrix 邻接矩阵来获取
* EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]
* @return
*/
private EData[] getEdges() {
int index = 0;
EData[] edges = new EData[edgeNum];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
if (matrix[i][j] != INF) {
edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}

/**
* 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同
* @param ends : 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中,逐步形成
* @param i : 表示传入的顶点对应的下标
* @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解
*/
private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}

}

//创建一个类EData ,它的对象实例就表示一条边
class EData {
char start; //边的一个点
char end; //边的另外一个点
int weight; //边的权值

//构造器
public EData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}

//重写toString, 便于输出边信息
@Override
public String toString() {
return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";
}
}

延伸

    图的kruskal算法
    韩顺平数据结构和算法
    克鲁斯卡尔算法-百度百科
    最小生成树(克鲁斯卡尔算法)
    Kruskal’s Spanning Tree Algorithm

Content
  1. 1. 前言
  2. 2. 克鲁斯卡尔算法
  3. 3. 延伸