Algorithm Prim

Prim’s (also known as Jarník’s) algorithm is a greedy algorithm that finds a minimum spanning tree for a weighted undirected graph. This means it finds a subset of the edges that forms a tree that includes every vertex, where the total weight of all the edges in the tree is minimized. The algorithm operates by building this tree one vertex at a time, from an arbitrary starting vertex, at each step adding the cheapest possible connection from the tree to another vertex.

前言

    普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点(英语:Vertex (graph theory)),且其所有边的权值之和亦为最小。

普里姆算法

普里姆算法介绍

1)普利姆(Prim)算法求最小生成树,也就是在包含n个顶点的连通图中,找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图,也就是所谓的极小连通子图
2)普利姆的算法如下:
(1)设G=(V,E)是连通网,T=(U,D)是最小生成树,V,U是顶点集合,E,D是边的集合 ;
(2)若从顶点u开始构造最小生成树,则从集合V中取出顶点u放入集合U中,标记顶点v的visited[u]=1;
(3)若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边,则寻找这些边中权值最小的边,但不能构成回路,将顶点vj加入集合U中,将边(ui,vj)加入集合D中,标记visited[vj]=1;
(4)重复步骤(2),直到U与V相等,即所有顶点都被标记为访问过,此时D中有n-1条边。

普里姆算法图解:


修路问题:


普里姆算法代码:

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import java.util.Arrays;

/**
* @Auther: Arsenal
* @Date: 2020-03-29 9:50
* @Description: 普里姆算法
*/
public class Prim {
public static void main(String[] args) {
//测试看看图是否创建ok
char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int vertex = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数,表示两个点不联通
int[][] weight = new int[][]{
{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},};

//创建MGraph对象
MGraph graph = new MGraph(vertex);
//创建一个MinTree对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(graph, vertex, data, weight);
//输出
minTree.showGraph(graph);
//测试普利姆算法
minTree.prim(graph, 1);//

}
}

/**
* 创建最小生成树->村庄的图
*/
class MinTree {

/**
* 创建邻接矩阵
* @param graph 图对象
* @param vertex 顶点个数
* @param data 顶点的值
* @param weight 邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph, int vertex, char[] data, int[][] weight) {
int i, j;
for (i = 0; i < vertex; i++) {
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < vertex; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}

/**
* 展示图
* @param graph 图对象
*/
public void showGraph(MGraph graph) {
for (int[] links : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(links));
}
}

/**
* 普里姆算法,生成最小生成树
* @param graph 图对象
* @param vertex 从第几个顶点开始生成 'A'->0,'B'->1....
*/
public void prim(MGraph graph, int vertex) {
//visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
int visited[] = new int[graph.vertex];
//visited[] 默认元素的值都是0, 表示没有访问过
// for(int i =0; i <graph.verxs; i++) {
// visited[i] = 0;
// }

//把当前这个结点标记为已访问
visited[vertex] = 1;
//h1 和 h2 记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000; //将 minWeight 初始成一个大数,后面在遍历过程中,会被替换
for (int k = 1; k < graph.vertex; k++) {//因为有 graph.verxs顶点,普利姆算法结束后,有 graph.verxs-1边

//这个是确定每一次生成的子图 ,和哪个结点的距离最近
for (int i = 0; i < graph.vertex; i++) {// i结点表示被访问过的结点
for (int j = 0; j < graph.vertex; j++) {//j结点表示还没有访问过的结点
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
//替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
minWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
//找到一条边是最小
System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
//将当前这个结点标记为已经访问
visited[h2] = 1;
//minWeight 重新设置为最大值 10000
minWeight = 10000;
}
}
}

/**
* 图
*/
class MGraph {
int vertex; //顶点个数
char[] data; //顶点
int[][] weight; // 邻接矩阵,权值存边

public MGraph(int vertex) {
this.vertex = vertex;
data = new char[vertex];
weight = new int[vertex][vertex];
}
}

延伸

    Prim算法详解
    普里姆算法-百度百科
    韩顺平数据结构和算法
    最小生成树(普里姆算法)
    Prim’s Spanning Tree Algorithm

Content
  1. 1. 前言
  2. 2. 普里姆算法
  3. 3. 延伸